【數(shù)學之美】豆瓣9.1 顛覆世界的混沌理論
2021-01-08 09:15:59
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“一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，扇動了幾下翅膀，幾周以后引起了美國得克薩斯州的一場龍卷風。“
相信很多人都聽過這句話，這就是非常著名的蝴蝶效應。其實，蝴蝶效應的背后就是大名鼎鼎的混沌理論。
BBC在2009年播出的一個紀錄片《神秘的混沌理論The Secret Life of Chaos》將這個讓整個科學界都難以說明白的混沌理論給出一個形象又生動的講解，并獲得了豆瓣9.1分的超高評價。
今天就跟隨主持人吉姆·奧卡利里教授揭開混沌理論的神秘面紗。
1、一切從一個問題開始
“我們究竟是怎么來的？“
人體由億萬顆不同的原子構(gòu)成，通過元素整合，大概有幾十公斤的水、幾克的鐵、一斤碳，還有一些微量的其他元素，加起來大概值十幾塊錢。
奇妙的地方就在于，這些普通而又常見的原子組成了一個會思考、會呼吸的人。這是如何做到的？
盡管人的元素構(gòu)成相同，但每一個人又都是不同的。世界上也沒有兩片完全相同的樹葉，每一件自然出產(chǎn)的東西都不會完全相同。
從基礎(chǔ)的一百多種相同的元素到世間不同的萬事萬物，這一切是如何發(fā)生的？
全世界的宗教、哲學、科學都在試圖回答這些問題，而這些問題卻從來都沒有解釋清楚。
直到一位數(shù)學天才的出現(xiàn)，計算機科學之父阿蘭圖靈。
阿蘭圖靈在密碼領(lǐng)域天賦驚人，其中最為人所知的是在二戰(zhàn)期間破譯德國軍事密碼，拯救了無數(shù)人的生命。其實在另一個密碼領(lǐng)域，他的貢獻同樣卓越。
胚胎內(nèi)部的細胞最開始都是完全一樣的，并且按照簡單規(guī)律進行自組織。自組織在不斷重復到一定階段后會突然呈現(xiàn)復雜模式，逐漸形成各種不同的細胞，最終發(fā)育成不同的器官。這個神奇的過程叫做形態(tài)發(fā)生。
1952年，他發(fā)表了《形態(tài)發(fā)生的化學基礎(chǔ)》，嘗試用數(shù)學建模系統(tǒng)來解釋生命體上不均勻的重復圖案是如何從自然、均勻的狀態(tài)逐漸演變成形的。
圖靈第一次用數(shù)學方程描述了生物系統(tǒng)如何實現(xiàn)自組織，一個平穩(wěn)且無特征的系統(tǒng)可以逐漸發(fā)展出一些特征來。生命的任何形態(tài)，都是簡單的數(shù)學過程。
可惜就在圖靈發(fā)現(xiàn)了一種用數(shù)學研究生物學的新途徑，邁出了“混沌理論”的第一步時，他選擇咬了一口毒蘋果自殺。
在圖靈發(fā)表開創(chuàng)性論文的同時，另一位俄羅斯化學家別洛烏索夫也有了同樣驚人的發(fā)現(xiàn)。
別洛烏索夫在研究人體如何從糖分中汲取能量時發(fā)現(xiàn)，將兩種溶液混合形成有色液體，液體會自動澄清，又再次變色，再次澄清，不斷循環(huán)往復。
就在他把這一重大發(fā)現(xiàn)提交給一家前蘇聯(lián)權(quán)威科學期刊時，卻被認定為違反基本物理定律，拒絕刊登。
事實上，這是由3個不同的反應組成的化學振蕩反應的結(jié)果。溶液自發(fā)的產(chǎn)生隨機的漣漪狀變化很好的說明，系統(tǒng)在不受外部條件因素干擾的情況下是存在自發(fā)無規(guī)律變化的可能性。這正好是圖靈自組織模式的另一種具體表現(xiàn)。
那時是傳統(tǒng)牛頓學說占據(jù)權(quán)威地位的時代。在牛頓學說的觀點中，宇宙是個龐大而錯綜復雜的機器，遵守著有序的數(shù)學規(guī)則。只要找到描述某個系統(tǒng)的數(shù)學方程，就能以此預測該系統(tǒng)的走向。如果系統(tǒng)出現(xiàn)任何異常變動，肯定是受到隨機性外力因素干擾，而不會是由內(nèi)部產(chǎn)生的。
也就是說，突變是不可能從內(nèi)部自發(fā)產(chǎn)生的。因此，圖靈和別洛烏索夫發(fā)現(xiàn)的這種在沒有外部影響的情況下自組織發(fā)生變化的情況，在當時的科學界完全是一種禁忌。
2、混沌理論
20世紀中期，“混沌現(xiàn)象”的發(fā)現(xiàn)徹底粉碎了牛頓學說。所謂混沌現(xiàn)象就是指在一個完全被數(shù)學方程描述的系統(tǒng)，即便沒有外部干擾也可能變得完全無法預測。促使科學界正視混沌現(xiàn)象的是美國氣象學家愛德華德·洛倫茲。
20世紀60年代初，洛倫茲試圖找到可以預測天氣的數(shù)學方程。但當他用數(shù)學方程來描述氣流運動時，所得結(jié)果與實際大相徑庭，沒有獲得任何有用的預測。
洛倫茲在一次頗有影響的演講中，提出這個激進的想法：“一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，扇動了幾下翅膀，幾周以后引起了美國得克薩斯州的一場龍卷風。“
幾個月內(nèi)，蝴蝶效應這一名詞開始廣為人知，以蝴蝶效應為標簽的混沌理論也開始泛濫四溢。
混沌理論認為哪怕是你能想到的最簡單的方程式（不含任何隨機因子），一切可知，只要運行過程中出現(xiàn)一點點偏差，結(jié)果也會跟最初的設(shè)想大相徑庭。
短短幾年，科學界認為數(shù)學方程能夠預測系統(tǒng)運行的理論就變得不再有效。
為了形象的說明，主持人做了一個簡單的實驗。面對著攝像機站在一塊顯示屏前，顯示屏播放攝像機中的畫面，得到了一個圖像無限嵌套的影像。
通常這種重疊圖像是可以預測的，但當主持人手里揮動一根點燃的火柴，火焰的飛舞變化被無限次放大后，畫面的圖像就會形成難以預測的奇妙圖案。
微小的變化因素在循環(huán)過程中產(chǎn)生了不可能計算和無法估量的結(jié)果，實際上與“蝴蝶效應”是一個道理。
建立在簡單反饋上的系統(tǒng)，同時創(chuàng)造了有序與混亂。
3、分形體
70年代，越來越多的科學家開始接受混沌理論。一個科學家從根本上為這個令人迷惑的觀點帶來了全新的理解，他就是伯努瓦·曼德勃羅。（沒錯，就是我們前兩期數(shù)學之美都提到的分形之父伯努瓦·曼德勃羅）
當別人看到的是混亂，而他看到的卻是規(guī)則，別人看到得是雜亂，他看到了形式與結(jié)構(gòu)，于是他發(fā)現(xiàn)了能夠支撐整個自然界的數(shù)學科學 “分形體”。
他認為，人類不該幾百年專注于直線和圓這一類規(guī)則形狀，卻對不規(guī)則形狀置之不理。自然界中很多形狀都符合自相似性：相同的形狀隨著尺度遞減不斷重復。例如樹枝、河流、海岸線、血管系統(tǒng)等等。
他把這種結(jié)構(gòu)稱為分形，并借助計算機畫出一種人造分形結(jié)構(gòu)曼德勃羅集，被稱為上帝指紋。集合里的每個圖形都包含了無限多個更小的圖形，而向外延伸同樣是無限多個更大的圖形，曼德勃羅集會無限循環(huán)下去。
而繪制曼德勃羅集的數(shù)學公式不過是：
這個公式的每個輸出值就會成為下一次運算的輸入值，不斷的自我反饋，使這個簡單的公式產(chǎn)生出了復雜的奇妙圖形。
曼德勃羅集不只是一個數(shù)學奇觀，它在所有尺度上都具有自相似性的分形屬性，反映出了自然界一個基本的有序原理。從圖靈、別洛烏索夫、洛倫茲到曼德博羅，科學家從不同角度揭示出一條深藏于宇宙中的重要法則：簡單規(guī)則可以自然導致極復雜的事物。
4、進化
飛翔的鳥群中，每一只鳥都遵循簡單的法則，但整個鳥群卻呈現(xiàn)出了極為復雜的狀態(tài)，沒有統(tǒng)一的頭領(lǐng)和計劃，卻能靈巧的避開障礙，順利遷徙。整個鳥群的行為很神奇卻也無法預知。
大自然在這種神秘的混沌力量下將極簡單轉(zhuǎn)化為極復雜，回到開始的那個問題，可以用它來解釋宇宙中簡單的塵埃如何形成人類嗎？能夠解釋無生命體是如何產(chǎn)生智慧的嗎？
我們身邊到處都有一種控制著這些復雜而不可預知的系統(tǒng)進程，通過琢磨系統(tǒng)來完成近乎奇跡的任務(wù)，這個進程叫作進化。進化沒有意識，卻可以發(fā)展和塑造復雜系統(tǒng)。
自然運動公司創(chuàng)始人托爾斯滕·萊爾用計算機模擬進化過程，利用程序創(chuàng)造100個能夠控制虛擬身體的虛擬大腦，然后通過算法選擇表現(xiàn)好的虛擬大腦并復制繁殖。通過幾代的迭代，原本只能踉蹌而行已經(jīng)發(fā)展成為了能夠自由走跳，甚至可以做出更多的事情。
當你觀察這些虛擬大腦時，你并不知道實際上發(fā)生了什么。因為進化使它們自動優(yōu)化了。這表明進化本身就像我們之前遇到的其它系統(tǒng)建立在簡單規(guī)則和反饋的基礎(chǔ)上，復雜就這樣自發(fā)的產(chǎn)生了。
有機體伴隨著偶爾的變異進行復制，周圍的環(huán)境給出反饋，最適合的變異得到加強，結(jié)果就出現(xiàn)了越來越多的復雜性，而整個過程是未經(jīng)思考和設(shè)計。
所以說，整個達爾文理論從某種意義上來說就是通過不同進程發(fā)生反饋的圖靈理論。
5、結(jié)語
整個紀錄片的核心內(nèi)容到此就基本結(jié)束了。
非常簡單的規(guī)則可以自然的導致極為復雜的事物發(fā)生。無需任何有意的設(shè)計，宇宙所有的復雜性、豐富性，都可以從最簡單的法則產(chǎn)生出來，一遍又一遍的重復，整個世界就自然而然地呈現(xiàn)出所有的奇跡和所有的美，雖然這一切依然是無法預知的。
最后用主持人在片尾說的話作為結(jié)語：我可以自信地告訴你未來會令人驚嘆，但我也科學的講，我一點也不清楚未來會怎樣。
就像誰都料想不到2020年疫情的發(fā)生，我們都是混沌中的一個元素，但未來一定有無限可能！
如果還想更生動地了解混沌理論，就點擊閱讀原文，觀看這部經(jīng)典的紀錄片。
寫在最后：
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